第一百三十六章双心四边形2

    以前，我觉得双心四边形一定是对角互补的。为什么呢？因为我觉得四边形有内接圆，那么它的对角就是互补的。然而，我就用寻找角平分线的交点来作图时发现根本不行。当时我没有怀疑寻找角平分线交点的这个方法，但是后来通过我的尝试却开始怀疑它。没错，我们的确是通过角平分线交点来找到三角形的内接圆的。但是，在四边形上并不适应。原因就是四边形是两个三角形拼成的，但是实质上是四个三角形。关键是这四个三角形的最大角的角平分线一定交于一点。并不是这样的。你可能会说，有内接圆的四边形就可以。然而，真是这样。于是，我先画了一个圆。然后再在圆外接一个四边形，结果发现角平分线并不是交于一点。还有，我偶然发现有时这个四边形的对角互补。这时，我才明白过来。原来，对角互补才是顺心四边形的条件。因此，我就开始了画双心四边形的旅程。其中关键就是两个对角互补。然后，剩下的两个对角自然互补。因此，最重要的就是画出这两个对角。标准的尺规作图是只允许用没有刻度的直尺和圆规，而我自然无法这样。要想画出这两个对角，必须要使用量角尺。首先，在已知圆外选取一定角度a。画出射线并平移，使得射线与圆相切即可。延长射线到很长为止。同理，画出角度（180-a），平移使得射线与圆相切。找出两个交点，这就是这个圆的外接四边形。当然，这只是粗略的描述而已。真正的方法还是有些微小的差异的。具体如下，

    在已知圆上取一点A，从这点出发作一条切线在B点停止。用量角尺量出a度。过C点作AB垂线CD。再过C点作CD的垂线CE，所以CE平行于AB。其中E点是与已知圆的交点。以E点为圆心和BC为半径画弧，交于BC于点F。然后，就是在角AFE的对应的已知圆的圆弧AE的另一边取一点G。用量角尺画出角度（180-a）。同上。然后，延长四条射线。交于HI两点，那么AEHI就是双心四边形。

    经过测量，外接圆半径是2.3，内接圆半径是1.5。而圆心距离是0.5。我推测圆心距离是内接圆半径的1/3。据此，我有理由认为这是可能的结论。其实，我觉得也就是内接圆如此费劲而已。所以，圆心距离才只是与内接圆半径有关。虽然不知道正确与否，但是我觉得可信度很高。

    当我第二次作图时，就发现有了错误。在已知圆取一点A，过A点作圆的切线。在B点停止。取角a度，作出BC。要求三角形ABC要包含已知圆的一个半圆，圆心为o连接OA，以它为一条射线，O点为顶点画角。使得这个角等于角B的补角。作出射线OD交圆于E。过E点作DE的垂线，交AB于F。在四边形AODB中，角B和角AoD互补。所以，角BAO等于角ODB等于90度。因而，DE垂直于BD。又因为DE垂直于EF，所以，EF平行于BD。所以，角ABD等于AFE。延长BA和FE。三角形ABC对应的已知圆的圆弧的另一边取一点G，使得角度等于（180-a）。过G点的切线交FA于于H，量出角H的度数b。可知圆心角AOG等于（180-b)。根据作图目的，对角互补。由于角B不是角H互补，那么角H就要和另一个角互补。而这个角就是角E。当然，现在角还没有出现。然后，我们知道角E对应的圆心角度数就是b。以OE为射线，O点为顶点。作出度数等于b的角，角已知圆于I点。然后，作OI的垂线，交GH于J点，交EF于K点。然后，四边形AFKJ就是所求的双心四边形。核桃长舒一口气，总算把这座大山给拿下了。

    三人也听得入神，忘记了自己应该说的话。然后，就没有然后了。